作者：福建 马长冰
4，九宫图与幻方
A 纵横图（幻方）
公元前165年考古发掘中，出土了一具“太乙九宫占盘”，上面绘有九宫等内容，公元前一世纪，洛书同我国汉代的《大戴礼》一书中的九宫图相合。所谓九宫，就是将一个正方形用两组与边平行的分割线，每组两条，分割成的九个小正方格。每个小方格分别填入从1到9这九个自然数中的其中一个，不同的方格填入的数不同，使得三横行中每一横行三个数的和（叫行和），三纵列中每一纵列三个数的和（叫列和），两条对角线中每一条对角在线三个数的和（叫对角和）都相等，等于 15。简而言之，纵横图（现称幻方），就是横、竖、斜（对角）各数之和都相等的正方格。
横或竖的方格数目称作幻方的阶，横、竖、斜（对角）各数之和称作幻和，例如上图是3阶幻方，幻和是15。
每一个幻方可以旋转、翻转，得到8个不同的幻方，这8个算是同族幻方。三阶幻方只有1族8个。根据严德人先生研究，四阶幻方至少有880族7040个。
这样得到的图就叫九宫图，南宋数学家杨辉称之为“纵横图”。这是洛书的现代表示法，传播到西方以后被称作幻方。
中国不仅拥用幻方的发明权，而且是对幻方进行深入研究的国家。南宋数学家杨辉（1127～1279）是世界系统研究幻方第一人，他编制幻方的方法成为经典。他一共编制了4阶到10阶的多种幻方，下图是其中一部分。
杨辉研究构建幻方的成就领先世界数百年。这么大量的计算，他使用的计算工具已经是算盘了。
B 幻方走向世界
我国的纵横图通过东南亚国家传到印度、阿拉伯，再传到西方。由于纵横图具有十分奇幻的特性，西方把它叫作Magic Square，翻译成中文就是“幻方”或“魔方”。现在我们一般采用“幻方”这一术语，当然数码也采用阿拉伯数字。
陕西历史博物馆二楼展厅陈列着一块刻着印度——阿拉伯数码的铁板。它是1273年修建安西王府时，压在房基下，作为避邪、防灾的物品。这块铁板是“六阶幻方”，一定程度上反映了阿拉伯数字传入中国后的应用。
1307年，元武宗海山在张北县始建元中都，与上都(内蒙古正蓝旗)、大都(北京)并称元朝三大都城。现存的元中都遗址位于今河北张家口张北县城西北15公里处，遗址中心大殿前殿中轴线三分之一处的地砖下，发现一块青石板，上面纵横各6格，共36格。每格内有一组八思巴文数字，出土的也是“六阶幻方”，其蕴含精妙的阿拉伯数字原理，避邪、防灾，在古代被视为奇妙的神秘之物。
历史上最早的四阶幻方是在印度发现的，印度人认为那是天神的手笔，被作为护身符。
西方有籍可查最早出现的幻方是德国著名画家丢勒（Albrecht Durer）。丢勒于1514年所作的著名版画《忧郁》中有四阶幻方。这个幻方常常被复制到金属佩戴物上，作为人们用以驱邪除魔，消灾避祸的护身符。
从洛书发端的幻方在数千年后的今天更加生机盎然，被称为具有永恒魅力的数学问题。洛书被世界公认为组合数学的鼻祖，它是中华民族对人类的伟大贡献之一。
著名数学家费尔玛、欧拉都进行过幻方研究，如今，幻方仍然是组合数学的研究课题之一，经过一代代数学家与数学爱好者的共同努力，幻方与它的变体所蕴含的各种神奇的科学性质正逐步得到揭示。目前，它已在组合分析、实验设计、图论、数论、群、对策论、纺织、工艺美术、程序设计、人工智能等领域得到广泛应用。
1977年，4阶幻方还作为人类的特殊语言被美国旅行者1号、2号飞船携入太空，向广袤的宇宙中可能存在的外星人传达人类的文明信息与美好祝愿！
5，魔方与数独
A 九阶魔方
许多古典数学游戏已经有很多研究了。这里只介绍新近热门的数字魔方与数独。尤其是数独已经从九宫图神话发展成为民间智力游戏。
用九个同样的九宫格清空，拼接成9×9的正方形方格，共有81方格。每一九宫格在这里就是小九宫，各个小九宫之间用粗线分开，根据位置依次编（序）号，如图20。
取1～9的9个数字为1组共9组数字，填满81个方格，使得满足3个条件：
⑴每一行都是1～9的不同数字，没有重复数字；
⑴每一行都是1～9的不同数字，没有重复数字；
⑵每一列都是1～9的不同数字，没有重复数字；
⑶每一个小九宫都是1~9的不同数字，没有重复数字。
满足这3个条件，就是九阶数字魔方。这是构成九阶数字魔方的充分必要条件。如下图也是数字魔方。(这里保留了三阶幻方)
因此，81个方格中任何一个方格改动数字，必然引起全盘“洗牌”，重新排列，得到新的数字魔方。真可谓“牵一发而动全身”。那么，究竟存在多少不同的九阶数字魔方呢？这似乎是一个排列组合或者乘方的计算问题，实际情况是相当复杂的问题。
严德人先生对此作为学术课题进行了研究，并且设计了专用软件，终于得到不同的九阶数字魔方（族）的数目，是个“天文数字”：
6,670,903,752,021,072,936,960≈6.67×1021。
上面仅仅说的是九阶数字魔方，还有3阶、4阶等等多样数字魔方，这在严德人先生专著《奇妙的数字魔方》中有比较详细介绍。
B 九阶标准数独
如果九宫数字魔方当中，抹去若干个数字成了空格。只要达到一定要求就可以构造成为九阶标准数独题目（图21）。并非九阶魔方随便抹去若干个数字就成为数独，其要求是从1到9的9个数字中选择一个数字填到图中的空格里，使得从1到9 的9个数字在它的每一行、每一列和每一个小九宫（指图18中，用粗线框住的3×3的区域）里都仅仅出现一次，也不能遗漏（成为魔方）。而且每个空格填数都是独一无二的，因此才能成为数独题目，这也是数独名称的由来。也就是说：每一个数独题目的答案都是独一无二的。
数独游戏，具有很强的娱乐性、趣味性和竞争性，参加游戏者须对所示的数独题要能够比较迅速地作出反应，观察力、想象力和思维质量在游戏中得到训练。由于规则简单，只需要9个九宫格，以及1到9个不重复的阿拉伯数字，而且变化无穷，人人都可以玩。它超越了文字的障碍，避开了数字和计算之间天然的联系，使游戏变得很轻松。
通过对数独游戏（也称为“数字九宫格”）的训练、探索和研究，训练观察能力、想象力、创新能力和训练学生思维的广阔性、敏捷性、灵活性、批判性，达到健脑益智的目的；同时，培养学会探索问题规律性的一些方法。古老的洛书，九宫图，延续的科技高度发达的21世纪，创造出数独游戏而且风靡全球，怎能不为我们祖先的智慧点赞呢？
C 各类数独风靡世界
数独是一种填数字游戏，英文名叫Sudoku，起源于瑞士，上世纪70年代由美国一家数学逻辑游戏杂志首先发表，名为 Number Place，后在日本流行，1984年将Sudoku命名为数独，即“独立的数字”的省略，解释为每个方格都填上一个个位数。2004年，曾居住中国香港的高乐德(Wayne Gould)把这款游戏带到英国，成为英国流行的数学智力拼图游戏。数独游戏现已风靡全世界，该游戏益智健脑、老少咸宜，自进入我国以来，受到了人们的广泛关注和热爱。现在数独已经进行了国际竞赛，我国开展数独活动比较迟，但是发展、进步引人注目。
英国《每日邮报》2012年6月30日的一篇报导说，芬兰数学家因卡拉，花费3个月时间设计出了世界上迄今难度最大的数独游戏，而且它只有一个答案。因卡拉说只有思考能力最快、头脑最聪明的人才能破解这个游戏。重庆一位教授耗时10天破解，实属不易。
最近爱尔兰都柏林大学的三位科学家庭计算机证明了：九阶标准数独至少必须留有17个数字才能有唯一解。
九阶标准数独游戏，只是常用普及的一种。为了提高趣味性和竞技性，人们还创造出丰富多彩的数独题目，难度也就可想而知。
第8届国际数独锦标赛上,中国队首获团体冠军，实现历史性突破，标志着中国已跻身数独强国之列。
数独带给人之外的东西应该是更多的。
严德人先生编制了《竞技数独》，由中国言实出版社于2007年12月出版。
2011年严德人在福建教育音像出版社讲解数独解题技巧，以通俗易懂的方式详细讲解了数独解题的初、中级技巧。出版《数独游戏》光盘，附赠的DVD-ROM软件中，含有146180道的数独题目，分成6个难度级别，从简单易学的入门题目到复杂、困难的题目应有尽有。通过学习和掌握这些解题技巧，你对时下各种数独题都可以得到解决。该软件还可以按照用户的要求生成题目。