河图洛书的智慧（十） 含山玉版的数学密码

工艺精湛的玉版刻画了河图与洛书，以及八角星纹、小圆圈、大圆圈，大圆内外的12个圭形纹饰，分别代表了人文以及天文地理等等的自然形态。在文字还没有诞生的远古时期，一片不朽的玉版蕴含了丰富的信息，堪称远古文明的典籍。

玉版图案整体是长方形，内雕刻两个圆形，大致呈对称形状。两个圆圈将平面分成三层，外方内圆。

两圆圈之间的圆环雕刻八条线段，将圆环分成八个区域：A，B，C，D，E，F，G，H，在每个区域内雕刻一个圭形纹饰。大圆外层分出四个区域K，L，M，N，每个区域对应圆环的两个区域，并且雕刻一个圭形纹饰。共有12个圭形纹饰（见下图）。

线条丰富，从中我们可以认识远古人们的数学认知与技能。数学诞生于人们对自然界的观察，源于生活、生产的实际体验，从含山玉版可见一斑。

两个“圆”，小圆的外径长宽比为1.03，大圆的外径长宽比为1.072。两者都接近于圆，考虑到拍照的误差，可以认为两个都是真正意义的圆。说明当时人们观察太阳，知道了圆。

大圆的直径是小圆的3倍，整个玉版外沿比例是0.64，接近黄金比例0.618。所以，整个玉版及其图案，看上去很匀称大方得体，体现了数学的对称和谐之美。

      两圆之间分区域的线段DH是穿过圆心的，在一条直线上的，AE与CH接近在一条直线上，而线段OB与OF折角比较大，是否有意为之不得而知。

玉版图案中有12个圭形纹饰，大圆外围4个圭形纹饰，圆环内八个，分别指向四面八方。每一个圭图都有一条中脊线，相对位置的两个圭图的中脊线基本上在一条直线上，其连线均通过小圆接近圆心的位置。

大圆外围4个圭形纹饰的两条中脊线，基本上是长方形的对角线。

从这些构图可以解读隐含的数学密码：

数学密码1，当时玉版的构图设计了轴对称与中心对称图形。虽然受限于认知和工具，总体还是呈现出对称美。对称美体现了中国古代对美的追求，延续至今。

数学密码2，掌握并使用工具画出圆形图案，会用于设计！

数学密码3，知道应用线条与圆将平面划分区域，以便在不同的区域设计制作不同的图案。

数学密码4，基本掌握长方形的画法并画出对角线，会以对角线的交点作为圆心，画出两个同心圆。限于当时的画图工具，虽然不是很精准，已经可以看出整体设计的用心。

数学密码5，当时人们知道画圆，然而尚未掌握四等分和八等分，只是靠目测。

图中末行是甲骨文数字。

图中心的“八角星”纹，是由“井”字添加线段而成。“八角星”处于中心位置其意义当然不同一般。多认为“八角星”是太阳纹的抽象表现，是古人对太阳运行规律的认识，日神崇拜的反映。有人说它是神农族后裔（含蚩尤族后裔）的标志，在中国本土，凡是有“八角星”纹出现的地方，就有神农族后裔的身影。在阿拉伯世界，多用八角星来做装饰纹路，他们的“八角星”是多由两个正方形拼合而成的。

含山玉版八角星是现存最早的八角星图样。

圭，用于测定太阳影子长短和角度变化，分别用于测定四季变化和时辰，成为太阳与人间“对话”的媒介。因此也是神圣之物。

圭的下端插地，上为尖端起到箭头指向作用。其形状从哪儿来的，珍禽羽毛？植物叶子、穗子？都有可能，是数学的抽象，艺术的创作。

数学密码6，用太阳影长判别季节变化，用太阳影子的角度变化来认知时辰，这是天文学与计时学的开端。

数学密码7，当时人们已经有了长度的概念，使用测量工具并且有了度量长度的标准（尺寸）。

玉版上钻了不少没有钻透的小眼窝，用这些小眼窝作为表示数字的点，分布在各个区域，这是玉版传递的极为重要的数学信息。

首先，用点的的个数表示数字，是数学发展具有里程碑意义的进展。古人类经历了结绳记数时期以绳结表示数，发展到以实物（果子、贝壳、树枝等）表示数字，即物化的数字，再发展到符号表示数字。每一步都经历了千百年经验与智慧的积累。玉版上用点的个数表示数字，是从物化数字向符号数字发展的重要过渡，符号数字就是创造文字的开端。

第二，这10个数字，有序地分布在玉版上各自的区域上：1，2，3，4，6，7的点基本上在圆环外的区域，由于8与9的点数比较多，就在大圆外的区域与圆环之间跨界。特别地，表示5与10的两个数字的点，分别落在小圆与圆环之间。

第三，{1，2，3，4，6，7，8，9}中，8个数字是按照奇数与偶数相互错开排列在间隔区域的。而{5，10}在中心区域。奇数古称阳数，偶数古称阴数，也就是说玉版上的10个数字是阴阳交错编排于不同区域，体现古代阴阳平衡的哲学思想。第四，在忽略图2中“10”的情况下，三组数字{4，9，2}、{3，5，7}与{8，1，6}是横向排列的，而{4，3，8}、{9，5，1}与{2，7，6}三组数字是纵向排列的；六组数每一组的三个数之和都是15。交叉线上的两组数{2，5，8}与{4，5，6}中，三个数之和也是15。这9个数字构成一种洛书图式。显然，与中心“5”相对的两个数之和都是10。

第五，在确认图2中“10”存在的情况下，大圆外相邻区域的两数字成为一对，有如下特点：（1）N区域的6与1，K区域的2与7，M区域的8与3，L区域的4与9，以及大圆内的5与10，两个数之差都是5；（2）各对两个数之和依次是7，9，11，13，15，构成等差数列；（3）每两个数都是由一个奇数与一个偶数配对而成，就是说五对数，每一对都是奇偶搭配阴阳平衡的。

玉版各数位置以及它们之间的关系，提供了有趣又奇妙的信息：

数学密码8，用点数表示数字，开启了符号数字之门，这是产生文字的开端，具有开创性的意义。

数学密码9，会区分阳数与阴数，有了阳数（奇数）与阴数（偶数）的意识，即掌握了奇数偶数的概念。这在数学概念发展上是重要的成果。

数学密码10，掌握了20以内的加减计算。

数学密码11，数的和与差被很巧妙地应用于不同方位的编排当中，初具等差数列的应用。

数学密码12，为10进制奠定了基础。我国古代十进位制的记数法，在世界数学史上是一个伟大的创造，列入“中国古代发明创造清单”之四。马克思在他的《数学手稿》一书中称十进位记数法为"最妙的发明之一"。

数学密码13，形成河图与洛书某种图式，开创了应用数学和数字艺术的先声。为幻方、数字魔方、数独以及现代图论的研究提供了雏形。

安徽含山出土6500年前的玉龟衔玉版，已经有了很多专著论述。方寸之中，凝聚先民智慧，传递数学密码，承载数学之美，开启中华文明之源。本文或许画蛇添足，仅为求教。

欲知大道，必先为史。勉励提高“历史思维”，提倡“鉴古知今，学史明智”。

河图洛书是中华文化源脉，本文主要叙述中国文化发展的初始状态，只要初中数学即可看懂，属于科普类的，不分文理。我们对老祖宗文化的认知需要加强，不要把“河图洛书”神秘化，应该揭开这个神秘面纱。期望搞教育研究诸君，也从本学科圈中出来环视一番，拓展教育视野。

人类文明的发展，数学同行。科学技术的创新，数学先行。每一个人的生活，与数同在，终身相随。

数，从表示数量大小、长短高低，到标识方位，到进入数字时代，开启了数字艺术新天地。自然界，人类社会有多少奥秘需要探索，需要数学这把钥匙才能探秘。

洛书被世界公认为组合数学的鼻祖，它是中华民族对人类的伟大贡献之一。在远古传说中，于治国安邦上也具有积极的寓意！包括洛书在内的幻方自古以来在亚、欧、美洲不少国家都被作为驱邪避凶的吉祥物，这种古代地域广泛的图腾应该说是极其少见的。（1975年上海人民出版社出版的自然辩证法丛书《自然科学大事年表》）

数学家张恭庆院士说：“数学既是一种文化、一种“思想的体操”，更是现代理性文化的核心。

数学作为现代理性文化的核心，提供了一种思维方式。数学使得各门学科的理论知识更加系统化、逻辑化。

数学家们是把原始的来自实际的问题，经过了层层抽象，在抽象的、仍然是客观事物真实反映的更深层次上来考察、研究其内在规律。

数学文化是一种非常实事求是的文化，它体现了一种真正的探索精神，一种毫不保守的创新精神。”

河图洛书从传说中诞生，数学史从河图洛书开写，也是中华文明发展史的发端与脉络。数千年来，经过无数数学家和民间数学爱好者的应用、研究、游乐，成就了辉煌，造福了全人类。本文避开以往玄秘的解读，从科普的视角探索现实情景，领悟其精华，享受前人创造的精神财富，让中华文明承前启后，发扬光大。

朱老夫子在泰宁避难隐居两年写下的《四季诗》之冬：

瑞雪飞琼瑶，梅花静相倚；独占三春魁，深涵太极理。

深涵太极理！难道朱老夫子也曾探索过土棋同太极的关系？

著名教育家兼诗人的柳斌先生，2008年经过当地时赋诗一首：

 乾坤万有归太极, 大化无言布阳春。半亩方塘发心智, 一溪曲水养性灵。

 寄意繁星忘物我, 探源儒理究天人。 巍巍一个朱夫子, 格物致知贯古今。

两首诗启示我们要用朱熹的“格物致知”精神去探索本源，揭示美丽传说深涵的民间智慧。